수슬린 수

일반위상수학에서 수슬린 수(영어: Suslin number)는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

정의

무게

 이 부분의 본문은 제2 가산 공간입니다.

위상 공간 $X$의 무게(영어: weight) $w(X)$는 $X$의 기저의 최소 크기이다. 제2 가산 공간은 $w(X)\leq \aleph _{0}$인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

집합족의 조건	최소 크기	기호
기저	무게	$w$
유사 기저	유사 무게	$\psi w$
π-기저	π-무게	$\pi$
망	망 무게	$nw$

유사 무게

위상 공간 $X$의 유사 기저(영어: pseudo-base) 또는 ψ-기저(영어: ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B$

위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T₁ 공간인 것이다.

T₁ 공간 $X$의 유사 무게(영어: pseudo-weight) 또는 ψ-무게(영어: ψ-weight) $\psi w(X)$는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

π-무게

위상 공간 $X$의 π-기저(영어: π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$이다.

• $\operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}$의 공시작 집합이다. 즉, $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$이며, 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 만약 $U\neq \varnothing$라면, $B\subseteq U$인 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.

위상 공간 $X$의 π-무게(영어: π-weight) $\pi (X)$는 그 π-기저의 최소 크기이다.

망 무게

위상 공간 $X$의 망(영어: network)은 다음 조건을 만족시키는 집합족 ${\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$이다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $U=\bigcup {\mathcal {S}}$인 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {N}}$이 존재한다.

따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 $X$의 망 무게(영어: network weight, net weight) $nw(X)$는 그 망의 최소 크기이다.

밀도

 이 부분의 본문은 분해 가능 공간입니다.

위상 공간 $X$의 밀도(영어: density) $d(X)$는 $X$의 조밀 집합의 최소 크기이다. 분해 가능 공간은 $d(X)\leq \aleph _{0}$인 위상 공간이다.

유전적 밀도

위상 공간 $X$의 유전적 밀도(영어: hereditary density) $d^{*}(X)$ 또는 너비(영어: width) $z(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

• $d^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 $\aleph _{0}$을 취한다).

  $d^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subset X}d(Y)\right\}$

• $z(X)$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $Y\subseteq X$의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 $\aleph _{0}$을 취한다).
  • 모든 상집합이 열린집합이 되는 $Y$ 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

$d^{*}(X)=z(X)$

이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.

증명:

$d^{*}(X)\geq z(X)$의 증명. $Y\subseteq X$가 부분 집합이며, $\leq$가 $Y$ 위의 정렬 전순서이며, $Y$의 모든 상집합이 $Y$의 열린집합이라고 하자. $|Y|\leq d^{*}(X)$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 $\kappa <|Y|$에 대하여, $\kappa ^{+}\leq d^{*}(X)$임을 보이면 충분하다. $\alpha$가 $(Y,\leq )$의 순서형이라고 하자. $\kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha$이므로, 순서형이 $\kappa ^{+}$인 부분 집합

$Z\subseteq Y$

가 존재한다. 임의의 상집합 $S\subseteq Z$는 $S$의 $Y$에서의 상폐포와 $Y$의 교집합이므로, $Z$의 열린집합이다. $\kappa ^{+}=|Z|$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 $D\subseteq S$가 조밀 집합이라면, $D$는 $S$의 공종 집합이며, $|D|\geq \kappa ^{+}$이다. 즉,

$\kappa ^{+}=d(Z)\leq d^{*}(X)$

이다.

$d^{*}(X)\leq z(X)$의 증명. 임의의 $Y\subseteq X$에 대하여, $d(Y)\leq z(X)$임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 $(y_{\alpha })_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y$을 만들 수 있다.

$y_{\alpha }\in Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \}\qquad (\forall \alpha <d(Y))$

이제,

$Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <d(Y)\}$

라고 하자. $Z$ 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 $d(Y)$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 $S\subseteq Z$에 대하여, 그 최소 원소가 $\min S=y_{\alpha }$라고 하면,

$S=\{y_{\beta }\colon \alpha \leq \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \})$

이므로, $S\subseteq Z$는 열린집합이다. 따라서,

$d(Y)=|S|\leq z(X)$

이다.

수슬린 수

 이 부분의 본문은 강하향 반사슬입니다.

위상 공간 $X$이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}$의 강하향 반사슬들은 정확히 $X$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 $X$의 수슬린 수(영어: Suslin number) 또는 세포도(영어: cellularity) $c(X)$는 $\operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}$의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

유전적 수슬린 수

위상 공간 $X$의 유전적 수슬린 수(영어: hereditary Suslin number, hereditary cellularity) $c^{*}(X)$ 또는 퍼짐(영어: spread) $s(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.

• $c^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.

  $c^{*}(X)=\sup _{Y\subseteq X}c(Y)$

• $s(X)$는 $X$의 이산 집합의 크기의 상한이다.

즉,

$c^{*}(X)=s(X)$

이다.

증명:

$c^{*}(X)\leq s(X)$의 증명. $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 $Y$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (Y)$가 주어졌을 때, 임의의 $U\in {\mathcal {U}}$에 대하여

$x_{U}\in U$

를 고르면,

$D=\{x_{U}\colon U\in {\mathcal {U}}\}\subseteq Y\subseteq X$

는 $X$의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

$c^{*}(X)\geq s(X)$의 증명. $X$의 이산 집합 $D\subseteq X$가 주어졌을 때,

${\mathcal {U}}=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq \operatorname {Open} (D)$

는 $D$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

린델뢰프 수

 이 부분의 본문은 린델뢰프 공간입니다.

위상 공간 $X$의 임의의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$에 대하여, $L({\mathcal {U}})$가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 $X$의 린델뢰프 수(영어: Lindelöf number) $L(X)$는 다음과 같다.

$L(X)=\sup _{\mathcal {U}}L({\mathcal {U}})$

린델뢰프 공간은 $L(X)\leq \aleph _{0}$인 위상 공간이다.

유전적 린델뢰프 수

위상 공간 $X$의 유전적 린델뢰프 수(영어: hereditary Lindelöf number) $L^{*}(X)$ 또는 높이(영어: height) $h(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

• $L^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 $\aleph _{0}$을 취한다).

  $L^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subseteq X}L(Y)\right\}$

• $h(X)$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $Y\subseteq X$의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 $\aleph _{0}$을 취한다).
  • 모든 하집합이 열린집합이 되는 $Y$ 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

$L^{*}(X)=h(X)$

이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)

증명:

$L^{*}(X)\geq h(X)$의 증명. $Y\subseteq X$가 부분 집합이며, $\leq$가 $Y$ 위의 정렬 전순서이며, $Y$의 모든 하집합이 $Y$의 열린집합이라고 하자. $|Y|\leq L^{*}(X)$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 $\kappa <|Y|$에 대하여 $\kappa ^{+}\leq L^{*}(X)$임을 보이면 충분하다. $\alpha$가 $(Y,\leq )$의 순서형이라고 하자. $\kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha$이므로, 순서형이 $\kappa ^{+}$인 부분 집합

$Z\subseteq Y$

가 존재한다. $Z$의 모든 하집합 역시 $Z$의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. $\kappa ^{+}=|Z|$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, $Z$의 열린 덮개

${\mathcal {U}}=\{\mathop {\downarrow } z\setminus \mathop {\uparrow } z\colon z\in Z\}$

의 모든 부분 덮개의 크기는 $\kappa ^{+}$이다. 즉,

$\kappa ^{+}=L({\mathcal {U}})\leq L(Z)\leq L^{*}(X)$

이다.

$L^{*}(X)\leq h(X)$의 증명. 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 무한 기수 $\kappa <L(Y)$에 대하여, $\kappa ^{+}\leq h(X)$임을 보이면 충분하다. $L({\mathcal {U}})>\kappa$인 $Y$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 $(y_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq Y$ 및 $(U_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq {\mathcal {U}}$을 만들 수 있다.

$y_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }U_{\beta }\qquad (\forall \alpha <\kappa ^{+})$

이제,

$Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <\kappa ^{+}\}\subseteq Y$

라고 하자. $Z$는 자연스럽게 순서형이 $\kappa ^{+}$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, $Z$의 임의의 하집합

$S=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\{y_{\beta }\colon \beta \leq \alpha \}=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\left(Z\cap \bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }\right)=Z\cap \bigcup _{y_{\alpha }\in S}\bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }$

은 $Z$의 열린집합이다. 따라서,

$\kappa ^{+}=|Z|\leq h(X)$

이다.

지표

 이 부분의 본문은 제1 가산 공간입니다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 지표(영어: local character) $\chi (S,X)$는 $S$의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 $X$의 지표(영어: character) $\chi (X)$는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.

$\chi (X)=\sup _{x\in X}\chi (x,X)$

제1 가산 공간은 $\chi (X)\leq \aleph _{0}$인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

집합족의 조건	개념	기호
국소 기저	(국소) 지표	$\chi$
국소 유사 기저	(국소) 유사 지표	$\psi$
국소 π-기저	(국소) π-지표	$\pi \chi$

유사 지표

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 유사 기저(영어: local pseudo-base) 또는 국소 ψ-기저(영어: local ψ-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$이다.

$S=\bigcap {\mathcal {B}}$

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 유사 지표(영어: local pseudo-character) 또는 국소 ψ-지표(영어: local ψ-character) $\psi (S,X)$는 $S$의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T₁ 공간 $X$의 유사 지표(영어: pseudo-character) 또는 ψ-지표(영어: ψ-character) $\psi (X)$는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.

$\psi (X)=\sup _{x\in X}\psi (x,X)$

π-지표

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 π-기저(영어: local π-base)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$이다.

• $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$이며, $x$의 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $B\subseteq U$인 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 π-지표(영어: local π-character) $\pi \chi (x,X)$는 $x$의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 $X$의 π-지표(영어: π-character)는 $\pi \chi (X)$는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.

$\pi \chi (X)=\sup _{x\in X}\pi \chi (x,X)$

밀착도

 이 부분의 본문은 가산 생성 공간입니다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 그 폐포의 점 $x\in \operatorname {cl} S$에 대하여, $t(x,S,X)$가 $x\in \operatorname {cl} T$인 $T\subseteq S$의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 밀착도(영어: local tightness)는 다음과 같다.

$t(x,X)=\sup _{x\in \operatorname {cl} S\subseteq X}t(x,S,X)$

위상 공간 $X$의 밀착도(영어: tightness)는 $t(X)$는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.

$t(X)=\sup _{x\in X}t(x,X)$

가산 생성 공간은 $t(X)\leq \aleph _{0}$인 위상 공간이다.

성질

위상 공간 $X$이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $c(X)\leq d(X)\leq \pi (X)\leq w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq \min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}$
• (ㄴ) $\max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}$
• (ㄷ) $\max\{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)$
• (ㄹ) $\max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)\leq w(X)\leq |X|\chi (X)$
• (ㅁ) $\pi \chi (X)\leq \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)$
• (ㅂ) $t(X)\leq |X|$
• (ㅅ) $\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \min\{\pi (X)^{c(X)},2^{d(X)}\}$

증명 (ㄱ):

$c(X)\leq d(X)$의 증명. ${\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. $D\subseteq X$가 조밀 집합이라고 하자. $|{\mathcal {U}}|\leq |D|$임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 $U\in {\mathcal {U}}$에 대하여

$x_{U}\in U\cap D$

를 고를 수 있다. ${\mathcal {U}}$가 서로소이므로, $U\mapsto x_{U}$는 ${\mathcal {U}}\to D$ 단사 함수이다. 따라서 $|{\mathcal {U}}|\leq |D|$이다.

$d(X)\leq \pi (X)$의 증명. ${\mathcal {B}}$가 $X$의 π-기저라고 하자. $|D|\leq |{\mathcal {B}}|$인 조밀 집합 $D\subseteq X$를 찾으면 족하다. 임의의 $B\in {\mathcal {B}}$에 대하여 $x_{B}\in B$를 고르자. 그렇다면,

$D=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq X$

는 조밀 집합이며, $|D|\leq |B|$이다.

$\pi (X)\leq w(X)$의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

$w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|$의 증명. $\operatorname {Open} (X)$는 $X$의 기저를 이루므로 자명하다.

$\left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|X|}$의 증명. $\operatorname {Open} (X)\leq {\mathcal {P}}(X)$이므로 자명하다.

$\left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{nw(X)}$의 증명. ${\mathcal {N}}$이 $X$의 망이라고 하자. $\left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|{\mathcal {N}}|}$임을 보이면 족하다. 이는

${\mathcal {P}}({\mathcal {N}})\to \operatorname {Open} (X)$

${\mathcal {S}}\mapsto \bigcup {\mathcal {S}}$

가 전사 함수이므로 자명하다.

증명 (ㄴ):

$\max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}$ $d(X)\leq nw(X)$의 증명. ${\mathcal {N}}$이 $X$의 망이라고 하자. $|D|\leq |{\mathcal {N}}|$인 조밀 집합 $D\subseteq X$를 찾으면 족하다. 임의의 $N\in {\mathcal {N}}$에 대하여 $x_{N}\in {\mathcal {N}}$을 고르자. 그렇다면,

$D=\{x_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}\subseteq X$

는 조밀 집합이며, $|D|\leq |{\mathcal {N}}|$이다.

$L(X)\leq nw(X)$의 증명. ${\mathcal {N}}$이 $X$의 망이라고 하자. ${\mathcal {U}}$가 $X$의 열린 덮개라고 하자. $|{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|$인 부분 덮개 ${\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {U}}$를 찾으면 족하다.

${\mathcal {S}}=\{N\in {\mathcal {N}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon N\subseteq U\}$

라고 하자. 임의의 $N\in {\mathcal {S}}$에 대하여

$N\subseteq U_{N}$

인 $U_{N}\in {\mathcal {U}}$를 고르자. 그렇다면,

${\mathcal {V}}=\{U_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}$

은 ${\mathcal {U}}$의 부분 덮개이며, $|{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|$이다.

$nw(X)\leq |X|$의 증명. $\{\{x\}\colon x\in X\}$가 $X$의 망이므로 자명하다.

$nw(X)\leq w(X)$의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.

증명 (ㄷ):

$t(x,X)\leq \chi (x,X)$의 증명. ${\mathcal {B}}$가 $x$의 국소 기저라고 하자. $S\subseteq X$이며 $x\in \operatorname {cl} S$라고 하자.

$x\in \operatorname {cl} T$

$|T|\leq |{\mathcal {B}}|$

인 $T\subseteq S$를 찾으면 족하다. 임의의 $B\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $x_{B}\in B\cap S$를 고르자. 그렇다면,

$T=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq S$

는 위 조건들을 만족시킨다.

$\pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)$의 증명. $x$의 임의의 국소 기저 ${\mathcal {B}}$에 대하여,

$\{\operatorname {int} B\colon B\in {\mathcal {B}}\}$

는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 $x$의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

증명 (ㄹ):

$\max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)$의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

$\chi (X)\leq w(X)$의 증명. $X$의 임의의 기저 ${\mathcal {B}}$ 및 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}$

는 $x$의 국소 기저이므로 자명하다.

$w(X)\leq |X|\chi (X)$의 증명. 모든 $x\in X$에 대하여 국소 기저 ${\mathcal {B}}_{x}$가 주어졌을 때,

${\mathcal {B}}=\left\{\operatorname {int} B\colon B\in \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}_{x}\right\}$

는 $X$의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

증명 (ㅁ):

$\pi \chi (X)\leq \pi (X)$의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

$\pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)$의 증명. 모든 점 $x\in X$에 대하여 국소 π-기저 ${\mathcal {B}}_{x}$가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌을 때,

${\mathcal {B}}=\bigcup _{x\in D}{\mathcal {B}}_{x}$

는 $X$의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

증명 (ㅂ):

임의의 $S\subseteq X$에 대하여 $|S|\leq |X|$이므로 자명하다.

증명 (ㅅ):

$\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \pi (X)^{c(X)}$의 증명. $X$의 임의의 π-기저 ${\mathcal {B}}\subseteq X$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {B}}$의 크기 $c(X)$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

$\operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}_{\leq c(X)}({\mathcal {B}})$

를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 $F\subseteq X$에 대하여,

${\mathcal {U}}_{F}\subseteq {\mathcal {B}}$

가 $U\subseteq \operatorname {int} F$인 ${\mathcal {B}}$ 속의 서로소 열린집합 $U\in {\mathcal {B}}$들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수

$F\mapsto {\mathcal {U}}_{F}$

를 생각하자. 자명하게 $|{\mathcal {U}}_{F}|\leq c(X)$이다. 만약 ${\mathcal {U}}_{E}={\mathcal {U}}_{F}$라면,

$E=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{E}=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{F}=F$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq 2^{d(X)}$의 증명. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$\operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}(D)$

를 찾으면 족하다. 함수

$F\mapsto F\cap D$

를 생각하자. 만약 $E\cap D=F\cap D$라면,

$E=\operatorname {cl} U$

$F=\operatorname {cl} V$

인 열린집합 $U,V\subseteq X$를 골랐을 때,

$E=\operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} U\cap D)=\operatorname {cl} (E\cap D)=\operatorname {cl} (F\cap D)=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} V\cap D)=\operatorname {cl} V=F$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

콜모고로프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $|X|\leq 2^{w(X)}$

증명 (ㄱ):

$X$의 임의의 기저 ${\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})$

를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수

$x\mapsto \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}$

는 단사 함수이다.

T₁ 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $\psi w(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}\leq |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|$
• (ㄴ) $\psi (x,X)\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)$
• (ㄷ) $\psi (X)\leq \min\{\chi (X),\psi w(X)\}$
• (ㄹ) $|X|\leq \min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi (X)}\}$
• (ㅁ) $nw(X)\leq \psi w(X)^{L(X)}$

증명 (ㄱ):

$\psi w(X)\leq |X|$의 증명. T₁ 조건에 따라 $\{X\setminus \{x\}\colon x\in X\}$가 $X$의 유사 기저이므로 자명하다.

$\psi w(X)\leq w(X)$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

$|X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 $X\setminus \{x\}$은 $X$의 열린집합이므로 자명하다.

증명 (ㄴ):

T₁ 조건에 따라 $x$의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.

증명 (ㄷ):

$\psi (X)\leq \chi (X)$의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

$\psi (X)\leq \psi w(X)$의 증명. $X$의 임의의 유사 기저 ${\mathcal {B}}$ 및 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}$

는 $x$의 국소 유사 기저이므로 자명하다.

증명 (ㄹ):

$|X|\leq 2^{\psi w(X)}$의 증명. $X$의 임의의 유사 기저 ${\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})$

를 찾으면 족하다. 함수

$x\mapsto {\mathcal {\{}}B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}$

를 생각하자. 만약 $\{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}$라면,

$\{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B=\bigcap _{y\in B\in {\mathcal {B}}}B=\{y\}$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$|X|\leq nw(X)^{\psi (X)}$의 증명. $X$의 임의의 망 ${\mathcal {N}}$이 주어졌다고 하자. ${\mathcal {N}}$의 크기 $\psi (X)$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

$X\mapsto {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})$

를 찾으면 족하다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $|{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)$인 $x$의 국소 유사 기저 ${\mathcal {B}}_{x}$를 고르자. 임의의 $x\in X$ 및 $B\in {\mathcal {B}}_{p}$에 대하여, $x\in N_{x,B}\subseteq B$인 $N_{x,B}\in {\mathcal {N}}$을 고르자. 이제, 함수

$x\mapsto {\mathcal {S}}_{x}=\{N_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq {\mathcal {N}}$

생각하자. ($|{\mathcal {S}}_{x}|\leq |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)$이므로 ${\mathcal {S}}_{x}\in {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})$이다.) 만약 ${\mathcal {S}}_{x}={\mathcal {S}}_{y}$라면,

$\{x\}=\bigcap {\mathcal {B}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{y}=\bigcap {\mathcal {B}}_{y}=\{y\}$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

증명 (ㅁ):

$X$의 임의의 유사 기저 ${\mathcal {B}}$에 대하여,

${\mathcal {N}}=\left\{X\setminus \bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}},\;|{\mathcal {S}}|\leq L(X)\right\}$

는 $X$의 망을 이루며,

$|{\mathcal {N}}|\leq |{\mathcal {B}}|^{L(X)}$

이다.

하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $|X|\leq \min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi (X)}\}$
• (ㄴ) $\psi w(X)\leq \min\{\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|,nw(X)\}$

증명 (ㄱ):

$|X|\leq 2^{2^{d(X)}}$의 증명. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(D))$

를 찾으면 족하다. 함수

$x\mapsto \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}$

를 생각하자. 만약

$\{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in \operatorname {Open} (X)\}$

라면, 하우스도르프 조건에 따라

$\{x\}=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{y\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\{y\}$

이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 $\operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)$이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$|X|\leq d(X)^{\chi (X)}$의 증명. 만약 $\chi (X)<\aleph _{0}$이라면, $X$는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, $\chi (X)\geq \aleph _{0}$이라고 하자. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to {\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}({\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}(D))$

를 찾으면 족하다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $|{\mathcal {B}}_{x}|\leq \chi (X)$인 국소 기저 ${\mathcal {B}}_{x}$를 고르자. 임의의 $B\in {\mathcal {B}}_{x}$에 대하여

$s_{x,B}\in B\cap D$

를 고르고,

$S_{x}=\{s_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq D$

${\mathcal {A}}_{x}=\{B\cap S_{x}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(S_{x})\subseteq {\mathcal {P}}(D)$

라고 하자. 이제, 함수

$x\mapsto {\mathcal {A}}_{x}$

를 생각하자. 자명하게

$|S_{x}|\leq \chi (X)$

$|{\mathcal {A}}_{x}|\leq \chi (X)$

이다. 하우스도르프 조건에 따라

$\{x\}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} B\supseteq \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S_{x})\supseteq \{x\}$

이다. 따라서, 만약

${\mathcal {A}}_{x}={\mathcal {A}}_{y}$

라면,

$\{x\}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S_{x})=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{y}}\operatorname {cl} (B\cap S_{y})=\{y\}$

이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다.

증명 (ㄴ):

$\psi w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|$의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

$\psi w(X)\leq nw(X)$의 증명. 만약 $nw(X)<\aleph _{0}$라면, $X$는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, $nw(X)\geq \aleph _{0}$이라고 하자. $X$의 임의의 망 ${\mathcal {N}}$이 주어졌다고 하자. $|{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|$인 유사 기저 ${\mathcal {B}}$를 찾으면 족하다.

${\mathcal {S}}=\{(M,N)\in {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}\colon \exists U,V\in \operatorname {Open} (X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing \}$

라고 하자. 임의의 $(M,N)\in {\mathcal {S}}$에 대하여,

$M\subseteq U_{(M,N)}$

$N\subseteq V_{(M,N)}$

$U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing$

인 열린집합 $U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X$를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,

${\mathcal {B}}=\{U_{(M,N)}\colon (M,N)\in {\mathcal {S}}\}$

는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게

$|{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|^{2}=|{\mathcal {N}}|$

이다.

정칙 하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• $w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|$

증명 (ㄱ):

정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

콤팩트 T₁ 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $nw(X)\leq \psi w(X)$

증명 (ㄱ):

T₁ 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• $\psi (X)=\chi (X)$

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

• $w(Y)\leq w(X)$
• $nw(Y)\leq nw(X)$
• $X$가 T₁ 공간일 때, $\psi w(Y)\leq \psi w(X)$
• $\chi (Y)\leq \chi (X)$
• $X$가 T₁ 공간일 때, $\psi (Y)\leq \psi (X)$
• $t(Y)\leq t(X)$

만약 $f\colon X\to Y$가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.

• $t(Y)\leq t(X)$

참고 문헌

• Juhász, István (1980). 《Cardinal functions in topology—ten years later》. Mathematical Centre Tracts (영어) 123 2판. Amsterdam: Mathematisch Centrum. ISBN 90-6196-196-3. MR 0576927. Zbl 0479.54001. 

외부 링크

• “Suslin condition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cardinal characteristic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.